Pueden resumirse las transformaciones tratadas así:
- Transformaciones puntuales
- funciones lineales
- Transformaciones Afines (funciones lineales enteras)
- Transformaciones Proyectivas ( funciones lineales fraccionales)
- funciones algebraicas racionales superiores, y funciones trascendentes.
- Transformaciones "por radios recíprocos" (inversión), tipo particular de transf. biracional cuadrática. Ejemplo particular: Proyección estereográfica.
- Proyecciones cartográficas.
- Transformaciones topológicas (las transformaciones puntuales continuas e invertibles más generales).
- Transformaciones con cambio del elemento de espacio.
- Transformaciones dualísticas, un ejemplo de las cuales es la de polo-polar.
- Transformaciones de contacto
Hay que "traducir" algo la nomenclatura de Klein. Función lineal entera (linear integral function) se refiere a un polinomio de primer grado en una o más variables. La palabra entera indica que no es racional, siendo aquí una función lineal fraccional (fractional linear function) lo mismo que función racional, el cociente entre dos polinomios, indicando el término lineal que ambos deben ser de primer grado. Cuando son de un grado más general se tienen las funciones algebraicas racionales superiores.
La presentación es en este orden de creciente generalización. Unos ejemplos.
Transformaciones Afines
\(x', y', z'\) son funciones lineales enteras de \( x, y, z\) :
\[
\begin{aligned}
x' & = a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 \\
y' & = a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 \\
z' & = a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3
\end{aligned}
\]
Puntos infinitamente distantes correspondes a otros infinitamente distantes. Son invertibles si el determinante \(\Delta\) de la parte lineal homogénea es distinto de cero. A partir de esta expresión analítica se puede estudiar el efecto de la transformación sobre distintos elementos geométricos.
Una aplicación afín transforma ...
- un plano en otro plano.
- una línea recta, dada por la intersección de dos planos, en otra línea recta, siendo por tanto un ejemplo de colineación.
- una superficie de grado \(n\) en otra del mismo grado; por ejemplo una esfera, que tiene extensión acotada, se transforma en general en un elipsoide.
- un vector libre en otro vector libre.
- un sistema de líneas paralelas en otro sistema de líneas paralelas, aunque la longitud de segmentos y el ángulo entre dos líneas no paralelas sí cambian.
- una línea recta en otra "similar", es decir, preservándose la razón simple de tres puntos colineales cualesquiera.
- el volumen de espacio, por ejemplo el de un tetraedro, en otro multiplicándose por el factor \(\Delta\).
- cada tripleta de planos diametrales de una esfera, mutuamente perpendiculares, en otra tripleta de planos diametrales de un elipsoide, llamados conjugados, con la propiedad de que cada uno de ellos biseca las cuerdas paralelas a la intersección de los otros dos. Una transformación afín "pura" (salvando una posible rotación y traslación) puede reducirse a una forma diagonal usando como coordenadas transformadas las de los ejes conjugados mutuamente perpendiculares del elipsoide, expresándose entonces \(x'=\lambda x , y' = \mu y, z' = \nu z\).
Las transformaciones afines tienen un importante papel en la física en campos como la teoría de la elasticidad, hidrodinámica y en general en la mecánica de los medios continuos.
Las transformaciones afines son relevantes para el dibujo en perspectiva usando la proyección paralela. En esa proyección el centro está en el infinito, y se usa un haz de rayos paralelos. Es aplicable lo estudiado en la geometría descriptiva. El resultado fundamental expuesto por Klein a este respecto es que "cualquier relación afín entre dos planos puede efectuarse de infinitas maneras diferentes mediante la combinación de una transformación de semejanza con una proyección paralela".
En cuanto al proceso de axonometría, la representación de todo el espacio sobre un plano mediante proyección paralela, permitiendo un alargamiento o encogimiento de la imagen por una transformación de semejanza, se corresponde analíticamente con una transformación homogénea afín de determinante nulo, cumpliéndose también la recíproca. Klein desarrolla la prueba con bastante detalle, haciendo uso al final del teorema de Pohlke. No es desde luego para una lectura rápida.
Pero ha sido aquí, gracias a buscar algo más sobre el tal Pohlke, que he encontrado que están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. ¡Albricias! Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla.
